Dimenzování elektrického vedení z hlediska jeho oteplení (nové příspěvky 17. 7. 2009)

Dimenzování elektrického vedení z hlediska jeho oteplení
Ing. Michal Kříž

Elektrická energie se k místu spotřeby přenáší prostřednictvím elektrického vedení. Elektrické vedení je tvořeno vodičem, kterým je veden elektrický proud, a izolací, jejímž účelem je udržovat rozdíl potenciálů (napětí) mezi vodičem a okolím. Protože vodiče používané v praxi nejsou dokonalé, tj. ideální supravodiče, vznikají průchodem elektrického proudu ztráty, a tím se vyvíjí teplo (vodiče se zahřívají). Tuto skutečnost je třeba respektovat při dimenzování vodičů a kabelů.

Zde si uvedeme jen princip, na jehož základě se proudová zatížitelnost vodičů a kabelů zjišťuje.

Na obr. 1 je znázorněn vodič se svými izolacemi uložený v prostředí (ve vzduchu, ve zdi, v zemi apod.). Ztrátový výkon vznikající průchodem elektrického proudu vodičem se rozptyluje do okolního prostředí (jak je na obr. 1 rovněž znázorněno). Přechodem ztrátového výkonu do okolního prostředí se zvýšila teplota nejen ve vodiči, ale i v jeho okolí. Ta však směrem od jádra vodiče klesá, až se v určité vzdálenosti (v okruhu, který je na obrázku vyznačen) již téměř rovná teplotě vzdáleného okolí a není ovlivňována teplem vycházejícím z vedení.

Obr. 1 Znázornění vodiče a jeho ztrátového výkonu tekoucího (ve formě tepla) do okolí a oteplení vodiče a okolí

Připomeneme si jenom, že k ohřátí okolí vodiče dochází teplem, které vychází z jeho jádra a které vzniká průchodem proudu. Přitom se vodič zahřeje tím více, čím větší proud jím prochází a čím více tepelně izolační látky brání v přechodu tepla z vodiče do okolního prostředí. Tepelně izolačními látkami, které jsou na obr. 1 patrné, jsou izolace vodiče i samotné okolní prostředí. Míra toho, jak tyto látky brání v přechodu tepla (tepelného výkonu) do okolí, je vyjadřována jako tepelný odpor (T ) mezi jádrem vodiče a okolím. Teplo (tepelný výkon) P přecházející do okolí zjistíme tak, že teplotní rozdíl mezi jádrem vodiče a okolním prostředím (Δ θ ) dělíme právě uvedeným tepelným odporem (T ). To je ostatně znázorněno na, poněkud pro elektrotechniky upraveném, schématu na obr. 2. Pro vedení tepla (tepelného výkonu) platí totiž obdobný zákon jako Ohmův zákon pro vedení elektrického proudu. (Aniž bychom zabíhali do fyzikálních podrobností, teplotní rozdíl Δθ mezi jádrem vodiče a okolním prostředím je obdobou rozdílu elektrických potenciálů ΔU mezi dvěma místy spojenými vodivým prostředím, obvykle vodičem; tepelný odpor T mezi jádrem vodiče a okolním prostředím je obdobou elektrického odporu R; výkon P odcházející z jádra vodiče o vyšší teplotě do okolí o nižší teplotě je obdobou elektrického proudu protékajícího vodičem nebo vodivým prostředím z místa vyššího elektrického potenciálu do místa nižšího elektrického potenciálu.) Z uvedené úvahy i z obr. 2 vyplývá:

P = Δθ/T.

Uvědomíme-li si, že v ustáleném stavu je tento výkon roven:

P = RI²,

vychází nám

RI² = Δθ/T

a odtud

I = [Δθ /(RT)]^1/2.

Porovnání uvedených vztahů je znázorněno na obr. 3. Vlevo je závislost ztrátového (tepelného) výkonu P ve vodiči na procházejícím proudu. Vpravo je závislost tepelného výkonu (tepla) předávaného z vodiče do okolí na rozdílu teplot mezi jádrem vodiče a okolím. V ustáleném stavu jsou si oba výkony, tj. ztrátový (tepelný) výkon P ve vodiči a tepelný výkon (teplo) předávaný z vodiče do okolí, rovny. To je znázorněno čerchovanou spojnicí obou grafů. Tímto způsobem je vyjádřen princip, na jehož základě se určuje jmenovitý proud vodičů a kabelů, tj. proud, při němž za definovaných podmínek použití (teploty okolí a způsobu uložení) dosáhne jádro vodiče maximální dovolené teploty.

Obr. 2 Schematické znázornění přechodu tepla (tepelného výkonu) z jádra vodiče přes tepelný odpor T (tepelně izolačních látek) do okolí

Průchodem ztrátového tepelného výkonu tepelným odporem T dochází k oteplení vodiče Δθ.

Obr. 3 Porovnání vztahů mezi ztrátovým výkonem vznikajícím ve vodiči a oteplením vznikajícím přechodem tohoto výkonu přes tepelný odpor do okolí

(Čím větší je tepelný odpor, tím je stoupání přímky zobrazující vztah mezi oteplením jádra vůči okolí mírnější.) Obrázek znázorňuje rovnovážný stav mezi ztrátovým výkonem vznikajícím ve vodiči a výkonem odevzdávaným do okolí.

Na tomto místě, jak jsme již uvedli, se přesným určením tohoto proudu zabývat nebudeme, protože bychom museli znát pro každý vodič celou řadu dalších upřesňujících údajů (závislost odporu vodiče i závislost tepelného odporu na teplotě, ztráty vířivými proudy v kovových obalech kabelu atd.). Pro hrubý odhad velikosti oteplení stačí úvaha, že ztrátový (tepelný) výkon uvolňovaný v jádru vodiče se rovná RI², což by ukazovalo na to, že oteplení vodiče roste přibližně s druhou mocninou proudu. (Například, je-li při proudu 10 A oteplení vodiče 40 °C, bude podle této úvahy při proudu 20 A oteplení vodiče již 160 °C, a to je téměř vždy nepřípustná hodnota, ať již pro teplotu při přetížení, nebo při zkratu.) Praktická měření však ukazují, že uvedená závislost platí pouze pro holé vodiče. Pro izolované vodiče a kabely je tato závislost ještě nepříznivější. Na základě praktických měření byla pro oteplení Δθ uznána úměra Δθ ~ I^2,492. To znamená, jakoby oteplení rostlo téměř s dvou a půltou mocninou proudu. Ovšem ani tato (na tři desetinná místa mocnitele udaná) závislost nemusí být zcela přesná. Propočet i měření naznačují, že u kabelů je možno uvažovat s úměrou Δθ ~ I ^2,25.

Ilustrujeme-li si tuto úměru na předchozím příkladě, znamenalo by to, že u vodiče, jehož oteplení při proudu 10 A bylo 40 °C, by při proudu 20 A bylo již 190 °C, a to je ještě daleko nepříznivější výsledek než podle předchozí úvahy.

Z hlediska jištění je důležité si uvědomit, že při nadproudu nesmí být překročena teplota 120 °C. To například znamená, že je-li při maximální dovolené trvalé teplotě vodiče při zatížení 70 °C a při teplotě okolí 30 °C zatížitelnost vodiče 10 A, může být maximální dlouhodobý dovolený nadproud pro přetížení pouze 14,34 A.

Velikost tohoto nadproudu vyplývá z podmínky, že je-li při provozním oteplení Δθ = 40 °C (tj. 70 - 30 °C) dovolený proud 10 A, pak při oteplení při přetížení Δθ = 90 °C (tj. 120 - 30 °C) musí dlouhodobý dovolený poměrný nadproud i vztažený k dovolenému proudovému zatížení I_z odpovídat:

Když si uvědomíme, že jističe vedení v elektrických instalacích s běžnými charakteristikami B, C, D musí 1,45násobek svého jmenovitého proudu vypnout do 1 hodiny, resp. do 2 hodin, pokud se jedná o jističe nad 63 A, vidíme, že při volbě jističe, jehož jmenovitý proud je menší než dovolené proudové zatížení chráněného kabelu, je proud běžných přetížení vypínán dříve, než kabel dosáhne dovolené teploty při přetížení. Nebudeme zde rozebírat jednotlivé body charakteristik a ověřovat, zda dojde i při ostatních nadproudech k včasnému odpojení a dovolená teplota nebude překročena. Vcelku můžeme brát jako prokázané, že v normální instalaci při normálních provozních podmínkách (teplotě vzduchu do 30 °C, maximální trvalé provozní teplotě jádra kabelu 70 °C) je ochrana před přetížením zajištěna při splnění podmínky, kdy jmenovitý proud jističe I_n je nižší než dovolené proudové zatížení kabelu I_z, tedy:

I_n ≤ I_z.

Za samozřejmé je možno brát, že nikdo nebude vedení zatěžovat proudem I_B větším, než je jmenovitý proud jištění, protože pak jednak jistič bude často vypadávat a samotnému vedení nebude svědčit jeho přetěžování, i když jeho teplota nebude nad mezí dovolenou pro přetížení. Matematické vyjádření uvedených vztahů, které je uvedeno také v ČSN 33 2000-4-43 je:

I_B≤I_n≤I_z.

V tab. 1 jsou uvedeny informativní hodnoty proudových zatížitelností I_z kabelů s izolací PVC v uložení A (v duté izolační stěně), B (ve stavebních dutinách nebo přímo ve zdi nebo v trubkách ve zdi) a C (na zdi nebo pod omítkou) a k nim přiřazené jmenovité proudy pojistek s charakteristikou gG ve sloupcích označených P a jističů odpovídajících ČSN EN 60898 (což jsou jističe s charakteristikami B, C nebo D pro jištění domovních a podobných instalací) ve sloupcích označených J.

Způsob uložení A (v duté izolační stěně) bývá znázorněn např. takto:

Způsob uložení B (ve stavebních dutinách apod.) bývá znázorněn např. takto:

Způsob uložení C (na zdi nebo pod omítkou) bývá znázorněn např. takto:

Je samozřejmé, že pak existuje ještě celá řada způsobu uložení, které mohou být něčím mezi výše uvedenými způsoby. V průmyslových rozvodech se uplatňují uložení kabelů na vzduchu vzdálených od stěny i od sebe navzájem (uložení E, F, G), distributoři elektrické energie kladou kabely do země (způsob uložení D). Podrobně o kladení a ztížení vodičů a kabelů viz ČSN 33 2000-5-523:2003.

Tab. 1 Dovolené proudy a jmenovité proudy jisticích prvků pro ochranu před nadproudy vodičů a kabelů pro způsoby uložení A, B, C, E a F

Na základě uvedené tabulky si můžeme uvědomit jednu věc. Dovolené proudy ve vodičích nejsou úměrné průřezu vodičů. Např. vodič průřezu 50 mm² nemůže vést 50krát větší maximální zatěžovací proud než vodič 1 mm². Je to logické, když si uvědomíme, že při 50krát větším proudu by muselo být z vodiče nebo kabelu odváděno 50krát větší množství ztrátového tepla, přitom však plocha, kterou je toto teplo odváděno do okolí není 50krát větší, ale jenom přibližně √50krát, tedy asi 7krát větší. Tato plocha není úměrná průřezu vodiče, ale jsou obvodu. Teplo je odváděno povrchem kabelu, nikoliv jeho průřezem.

Na základě obdobné úvahy byl odvozen i vztah mezi zatížitelností vodiče v seskupení vůči jeho zatížitelnosti, pokud je veden samostatně. Odtud uvádí ČSN 33 2000-5-523:2003 tzv. redukční součinitel seskupení F, pro nějž platí:

,

přičemž n značí počet vícežilových kabelů nebo obvodů v seskupení. Prakticky to znamená, že pokud je v seskupení n kabelů, zatížení každého z nich je vhodné oproti jeho dovolenému proudovému zatížení při normálním uložení (mimo svazek) zmenšit (1/√n)krát. Pak nedojde k nadměrnému ohřátí kabelů v seskupení. To například znamená, že když je za normálních okolností proudová zatížitelnost kabelu 25 A a obdobných kabelů je ve svazku 10, tak je třeba takový kabel zatěžovat pouze proudem F × 25 = 0,316 × 25 ≈ 8 A. Za F jsme dosadili F = 1/√10 = 0,316.

Literatura

[1] ČSN 33 2000-4-43 Elektrické instalace budov – Část 4: Bezpečnost – Kapitola 43: Ochrana proti nadproudům, Praha, ČSNI 3/2003
[2] ČSN 33 2000-5-523 ed. 2 Elektrické instalace budov – Část 5: Výběr a stavba elektrických zařízení – Oddíl 523: Dovolené proudy v elektrických rozvodech, Praha, ČSNI 5/2003
[3] Kříž, M.: Dimenzování a jištění elektrických zařízení – tabulky a příklady, IN-EL, Praha 2001

Nový příspěvek 17. 7. 2009
K článku o dimenzování elektrických vedení z hlediska oteplení:

Celkové zatížení svazku kabelů - součinitele soudobosti a náročnosti

Se zájmem jsem si přečetl článek ing. Kříže z 28. 3. 2008 o dimenzování elektrických vedení z hlediska oteplení. V teoretické rovině je to velmi srozumitelné, ale v praxi se mi nepodařilo přesvědčit odpovědného projektanta, aby s koeficienty dle tabulky 52-E1 ČSN 33 2000-5-523 ed. 2 skutečně počítal.
Naše firma realizuje obchodní centrum, kde se nemůžeme shodnout na rozumném vyřešení souběhu většího množství kabelů CYKY ve svazku (7 ks CYKY 4 x 35 až 3 x 95 + 50 a až 60 ks kabelů CYKY 3C x 1,5 až CYKY 5 x 10), uložených ve žlabu Mars 500 x 100. Navrhli jsme kabely rozdělit do dvou tras nebo posílit, ale nebyla ochota problém rozumně vyřešit. Aby mohl použít tzv. "ekonomickou" variantu tvrdí, že se jedná o referenční způsob uložení C uvedené normy.
Podle mého názoru se jedná v tomto případě jednoznačně o uložení typu B1-2. S pomocí programu Sichr jsem se pro navržené jistící prvky a kabely dopočítal k teplotám kolem 200 °C. Pokud se použijí přepočítací součinitele pro způsob uložení C, vychází to sice na značné tepelné ztráty ve vedení, ale na hraně povolených teplot.
Původně projektant navrhnul uzavřené žlaby Mars, nyní tvrdí, že bez vík je to dostatečně odvětrané, jako na kabelové lávce. Navíc, že jsou normy nezávazné a skutečné zatížení bude menší, než jmenovitý proud předřazených jistících jističů. Víme, že je navrženo špatné řešení, ale bez jednoznačného výkladu normy nám ani orgány technické inspekce nepomohou problém vyřešit.
Moje dotazy tedy zní:
- jaké je správné zařazení v tabulce referenčních uložení, jsou- li kabely CYKY vtěsnány v neperforovaných kovových žlabech Mars?
- je pro zařazení podstatné, zda jsou instalována kovová víka žlabů?
Jiří Skalický

Odpověď:
Potěšil nás Váš zájem o článek, který jsme na našich stránkách zveřejnili. Nicméně Vám nemůžeme pomoci Váš problém vyřešit, protože neznáme charakteristiku obvodů, jejichž kabely jsou uloženy - předpokládáme v těsném seskupení ve žlabech Mars. Kromě toho nevíme, jak jsou uloženy kabelové žlaby Mars. Nicméně předpokládáme, že by se mělo jednat o způsob uložení B2.
Neumíme si však představit, že by veškeré Vámi uváděné kabely v těsném seskupení, ať již by byly uloženy v uzavřených nebo otevřených žlabech, měly být zatíženy proudy o hodnotách, které jsou v obvyklých rozvodech, nejsou-li kabely seskupeny, běžné (tzn. CYKY 3C × 1,5 proudem cca 10 A a CYKY 4 × 35 proudem 80 až 100 A). Předpokládáme-li, že kabely by byly uloženy v šesti vrstvách po deseti kabelech, bylo by na ně třeba uplatnit jednak součinitel seskupení pro jednu vrstvu po deseti kabelech, který je (podle publikace IN-EL, Dimenzování a jištění el. zařízení - tabulky a příklady i podle ČSN 33 2000-5-523:2003) roven 0,7 a kromě toho ještě součinitel seskupení šesti vrstev, který je (podle výše uvedené publikace) ještě 0,68, takže celkový součinitel snižující zatížitelnost je kabelů je 0,7 × 0,68 = 0,476. To znamená, že kabely by měly být zatěžovány méně než polovičním proudem.
To platí ovšem pro případ, že by veškeré kabely byly zatěžovány najednou. S názorem projektanta, že tomu tak nebude, je ovšem možno souhlasit. Ve skutečném zatížení se uplatňují součinitele soudobosti a náročnosti. Jinými slovy - po většinu doby nebudou využity všechny obvody najednou (to je vyjádřeno součinitelem soudobosti) ani nepoběží všechny obvody na plný instalovaný výkon (to je vyjádřeno součinitelem náročnosti). Na druhou stranu však není možné se na pouhou zkušenost zcela spolehnout. To, že kabely nebudou po většinu doby využity naplno, je pravděpodobné. Je dokonce pravděpodobné, že celé uskupení kabelů bude po většinu doby využito dohromady na méně než na polovinu součtu maximálního dovoleného zatížení jednotlivých kabelů. Nemusí to však být zcela jisté. Je třeba si uvědomit, že pokud by nebylo předřazeno odpovídající jištění, hrozilo by nebezpečí, že čas od času bude celé seskupení kabelů přetěžováno a dojde k jeho rychlému znehodnocování, které po nějaké době může mít za následek zkraty a zničení celého seskupení kabelů. Řešení by se mohlo zajistit pro kabely obvodů napájených z jednoho zdroje tak, že jmenovitý proud společného jištění těchto obvodů bude nižší než polovina součtu dovolené zatížitelnosti jednotlivých kabelů daných obvodů (samozřejmě ještě za předpokladu, že každý napájený obvod bude jištěn ještě svým vlastním jištěním).
Obdobně je řešeno vedení a jištění napájení domovních rozvodů, kde s využitím součinitelů soudobosti není hlavní domovní vedení ani přívodní vedení v domě dimenzováno na součet všech maximálních odběrů jednotlivých domácností, ale s využitím součinitele soudobosti pouze na určitý díl součtu maximálních odběrů jednotlivých bytů (např. u sedmi bytů pouze na 50 % uvedeného součtu a u 40 bytů už jenom na jednu třetinu). Ovšem jak hlavní domovní, tak i přívodní vedení má předřazeno jištění odpovídající jejich maximálnímu dovolenému proudu, který je odpovídajícím způsobem nižší než součet odběrů jednotlivých domácností. (To že uvedené snížení není zbytečné, se projevovalo zejména v předvánočních týdnech, kdy se ve všech domácnostech najednou elektricky peklo cukroví a kdy pravidelně každý rok vybavovala jištění bytového domu. V případě, že by toto jištění bylo vynecháno, došlo by zřejmě k něčemu horšímu, než jenom přetavení pojistkové vložky na přívodu do objektu a přerušení napájení.)
Pokud se týká rozdílu mezi uložením kabelů v uzavřených a otevřených kabelových žlabech, bude samozřejmě zatížitelnost v otevřených žlabech vyšší než ve žlabech uzavřených. Rozdíl však nebude vyšší než mezi zatížením při způsobech uložení B a C.